Présentation générale

L’objectif général de cette ressource est de fournir aux élèves des outils leur permettant de traduire un énoncé de mathématiques en un schéma qui les guidera pour le choix du calcul. De manière plus général il s’agit d’apprendre aux élèves à percevoir la structure sous-jacente des énoncés de mathématiques qui est constituée de deux choses, le rôle des valeurs de l’énoncé et les relations qui sont entretenues entre ces valeurs. La construction de cette perception va donc se construire à travers 3 étapes successives et liées entre elles. La première étape est la prise de conscience du rôle joué par les nombres dans l’énoncé. Une fois ce rôle joué par les valeurs de l’énoncé déterminé, l’élève va pouvoir choisir le schéma de résolution le plus adapté afin de révéler les relations entre ces nombres, puis il apprendra à finaliser ce processus en déduisant le calcul adapté.

Il y a en réalité deux objectifs, l’un à court et l’autre à long terme. A court terme l’objectif est l’acquisition de cette méthodologie qui comporte des logos et des schémas soigneusement choisis, lors d’une démarche très déductive et guidée.  Et à long terme l’objectif est l’abandon progressif de ces outils écrits afin que cela devienne une aptitude mentale.

Ce cheminement vers ces opérations mentales ne peut se produire qu’avec un maximum de conscience de la part des élèves de ce qui est attendu de lui, c’est pour cela que je pense  qu’il est indispensable de présenter aux élèves cette ressource et ces outils de manière très transparente, tel que je le propose ci-dessous avec les diaporamas prévus à cet effet. Le deuxième choix pédagogique qui caractérise cette ressource est l’enseignement explicit des différentes représentations schématiques que les élèves vont devoir savoir maitriser. Ce choix se justifie par le besoin d’une acquisition rapide et précise de ces outils qui ne peut se faire que par un modelage suivi d’une pratique accompagnée avant de mettre les élèves en entrainement autonome.

Voici deux vidéos explicatives :

Les logos et schéma choisis

Les logos et  schémas ont été pensés afin de faire au maximum sens pour les élèves. Les schémas n’ont pas une visée exhaustive et sont bien entendu très perfectibles, ils ne permettent de résoudre que les catégories de problèmes les plus simples. Ils ont pour vocation d’apprendre aux élèves à passer de la résolution par dessin inefficace et très chronophage à des représentations abstraites mentales.

Le véritable objectif à court terme n’est pas la maitrise complète des logos et des schémas, l’objectif réel est de les aider à structurer leur raisonnement.

L’objectif à moyen terme est de les rendre autonomes sur la résolution de problèmes, et à long terme de les libérer de ces supports structurants, car ils se seront structurés eux-mêmes et auront acquis des réflexes efficaces face à ces problèmes.

  • Grammaire des logos utilisés.

J’ai choisis d’utiliser le terme de logos plutôt que symbole, le symbole représentant une idée généralement plutôt abstraite et très subjective, alors que le logos peut être rattaché à un sens et une terminologie précise que je définis ci-dessous.

Lors de la lecture de l’énoncé l’élève devra distinguer 3 types de valeurs différentes :

Ces représentations ont été pensés à partir des travaux de Vergnaud mais  reposent sur une grammaire soigneusement choisie et adaptée aux élèves.  Voici leur description

Exemples d’utilisation des logos et des schémas lors de la lecture d’un énoncé.

Voici les 4 schémas permettant de représenter les problèmes présentés aux élèves :

Description générale des séquences de l’année

Ce travail d’acquisition de cette méthodologie de résolution de problème est pour l’instant organisé sur un semestre, c’est à dire une demie année. Le premier semestre est constitué de deux morceaux, et chacun des morceaux occupe une période c’est à dire 7 ou 8 semaines. Bien entendu ce travail peut être « étendu » sur une plus longue période voir une année scolaire par exemple.

Le premier morceau est consacré à l’acquisition des 3 logos ( valeurs d’ETAT, de COMPARAISON et de TRANSFORMATION) et des 4 schémas ( COMPOSITION, COMPARAISON Additive et COMPARAISON Multiplicative, TRANSFORMATION ) présentés ci-dessus. Dans cette première étape l’élève est entrainé sur des problèmes « artificiels » et « scolaires », calibrés sur ces catégories. Des diaporamas sont proposés afin d’ introduire chaque schéma puis d’entrainer les élèves. Ces diaporamas sont accompagnés ou non de fiches présentes dans cette ressource.

Le deuxième morceau est constitué d’une série de livrets de travail par niveaux de compétences. Les élèves vont pouvoir s’entrainer sur une période de 7 à 8 semaines de manière autonome et différenciée. Quand un élève a fini un livret il va pouvoir se rendre sur le livret suivant dans lequel il rencontrera des difficultés d’un niveau plus élevé.

Le choix des représentations que je vais proposer aux élèves est fruit de diverses tentatives et expérimentations, voici les critères qui ont guidé mon choix :

L’enseignement explicit me semble le plus adapté aux stratégies de résolution de problème que je souhaite ici transmettre aux élèves. Je compare cette pédagogie à celle vécue par un apprenti qui doit apprendre à enfoncer un clou : on va lui enseigner de manière très explicite comment tenir un marteau et on va le faire dans une situation très sécurisante et artificielle, une fois la maîtrise de l’outil suffisante le maitre va proposer à l’apprenti des situations de plus en plus complexes dans lequel l’apprentissage va se poursuivre de manière plus autonome . Il y aura donc ici les 3 étapes progressives : le modelage, puis la pratique accompagnée et la pratique autonome.

  • un juste équilibre entre la quantité de schémas proposés et leur efficacité « ni trop ni pas assez « . 4 schémas clairement identifiables me semble raisonnable.
  • une sorte de grammaire de schéma soigneusement choisie, facilement explicable et appropriable par les élèves :  » des schémas qui font sens ». J’ai emprunté cette idée à Kevin Gueguen, mais je l’ai retravaillée avec d’autres critères.
  • les schémas doivent permettre de traduire ce qui fait la structure profonde des énoncés mathématiques proposés aux élèves de primaire : la fonction des valeurs et les relations qui les lient.
  • les schémas proposés doivent être facilement appropriables par les élèves mais aussi potentiellement transformés, les schémas ne doivent pas enfermer les élèves …
  • la modélisation choisie cherche à associer l’aspect langagier en étant une traduction la plus fidèle possible du discours, et l’aspect calculatoire en révélant les relations entre les quantités et mettant en évidence le calcul à effectuer.
  •  ces schémas n’ont pas de visées exhaustive et ne permettent de résoudre que les catégories de problèmes les plus simples. Ils ont pour vocation d’apprendre aux élèves à passer de la résolution par dessin inefficace et très chronophage à des représentations abstraites mentales.
  •  ces schémas focalisent sur les situations additives qui posent le plus de difficultés aux élèves, il n’y a qu’un seul schéma proposé pour les situations multiplicatives.
  • le travail sur les schéma est accompagné d’un travail de méthodologie et de travaux de vocabulaire d’énoncé.

Place de l’oral, du vocabulaire employé et des logos utilisés

L’enseignement explicite choisi ici requiert de considérer l’oralisation et le vocabulaire employé comment étant des éléments clefs de cet apprentissgae. Il est très  consacrer de nombreux moments aussi bien formels que non formel aux répétitions verbales avec le vocabulaire adapté qui guident les différentes étapes du passage de la lecture de l’énoncé aux chois du calcul.

Cette ressource fait le choix d’une utilisation importante de « logos »  utilisés comme pour son intérêt figuratif. Les logos ont été choisis de façon à faire sens, et de façon de constituer comme une grammaire, c’est à dire que ces ces logos peuvent s’associer entre eux pour « raconter » l’histoire intermédiaire de l’énoncé.

Le vocabulaire choisi doit être précis et toujours le même quand il est utilisé par l’enseignant, quand c’est l’élève qui l’utilise il ne faut hésiter à le faire reformuler avec les mots adaptés.

Voici une description non exhaustive de ces moments :

  • la lecture de l’énoncé : ma proposition, plutôt classique, est d’insister sur la nécessité de comprendre le vocabulaire utilisé dans l’énoncé ainsi que d’ être en  capacité de se représenter  » le fil de l’histoire raconté dans l’énoncé ». Cette partie peut être ritualisée verbalement avec les deux questions suivantes :  » Comprenez-vous tous le vocabulaire de l’énoncé ?« , puis « Quelqu’un peut-il nous raconter brièvement ce que nous raconte l’énoncé ? « 
  • la deuxième étape consiste à successivemenent repérér les valeurs utiles avant de  définir le sens des valeurs de l’énoncé. On ne peut repérer les valeurs utiles qu’en fonction de ce qui est demandé dans l’énoncé.

Le sens des valeurs se fait en reprenant les définitions données aux trois types de valeurs avec le vocabulaire précis qui leur sont associées ainsi que le logos auquel ils sont associés:

        – les valeurs d’état (ETAT) : il est nécessaire d’établir avec eux une liste des termes qui attribuent aux nombres un rôle d’ETAT. Ces verbes peuvent être un synonyme du verbe AVOIR ou bien du verbe ETRE. Le choix du logo « rectangle » pour l’encadrement de ces valeurs est stratégique : un rectangle représente une structure stable à un moment donné. Il est important de signaler que le terme d’état est souvent non connu des élèves au départ. Il faut donc prendre le temps de le définir mais attention sans s’égarer dans ses différentes définitions. La définition donnée par le Larousse qui me semble la plus juste et la plus compréhensible par les élèves est la suivante  » Situation de quelque chose à un moment donné » .   

        – les valeurs indiquant un changement (CHANGEMENT) : le verbe qui lui est associé est en général un synonyme de

  • augmenter : gagner
  • diminuer : perdre

  Le logos chosisi ici est le cercle (plus ou moins oval) qui représente le mouvement et dont le changement.

       – les valeurs représentant une comparaison (COMPARAISON) additive ou multiplicative :

  • de plus / en plus ou bien de moins / en moins pour les comparaisons additives
  • fois plus / fois moins pour les comparaisons multiplicatives

Le logos est un double cercle que l’on peut facilement associé à l’idée de comparaison.